Fonction ln

Définition

La fonction qui, à tout rée l  \(x\)  strictement positif, associe \(\ln(x)\)  est appelée fonction logarithme népérien et est notée \(\boldsymbol{\ln}\) .
La fonction logarithme népérien est ainsi  définie sur \(]0\ ; +\infty[\) .

Propriété

• Pour tout réel \(x\)  strictement positif, on a  \(\boldsymbol{\text{e}^{\ln(x)}=x}\) .
  
• Pour tout réel \(x\) , on a  \(\boldsymbol{\ln\left(\text{e}^x\right)=x}\) .
  

On dit que la fonction \(\) logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Démonstration

On rappelle que, pour tout réel \(a\)  strictement positif, \(\ln(\color{red}{a})\)  est la solution de l'équation \(\text{e}^x=\color{red}{a}\) .

• Soit \(x\)  un réel strictement positif.
  \(\ln(\color{red}{x})\)  est la solution de l'équation, d'inconnue \(\color{blue}{X}\) , \(\text{e}^\color{blue}{X}=\color{red}{x}\)  donc \(\text{e}^{\color{blue}{\ln(x)}}=\color{red}{x}\) .
  
• Soit \(x\)  un réel.
  \(\ln(\color{red}{\text{e}^x})\)  est la solution de l'équation, d'inconnue \(\color{blue}{X}\) , \(\text{e}^\color{blue}{X}=\color{red}{\text{e}^x}\) .
  La solution de \(\text{e}^X=\text{e}^x\)  est \(X=x\)  donc \(\ln(\text{e}^x)=x\) .